\[ \newcommand{\isum}[2]{\sum\limits_{ #2 = #1 }^{\infty}} \newcommand{\iprod}[2]{\prod\limits_{ #2 = #1 }^{\infty}} \newcommand{\lsum}[3]{\sum\limits_{ #2 = #1 }^{ #3 }} \newcommand{\lprod}[3]{\prod\limits_{ #2 = #1 }^{ #3 }} \newcommand{\llim}[2]{\lim\limits_{ #1 \rightarrow #2 }} \newcommand{\brac}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\lrac}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\flor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand{\agle}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\abss}[1]{\left\| #1 \right\|} \newcommand{\id}[1]{\text{( #1 ) }} \newcommand{\mathbs}[1]{\boldsymbol{ #1 }} \newcommand{\mvec}[1]{\overrightarrow{ #1 }} \newcommand{\mbar}[1]{\overline{ #1 }} \newcommand{\bigf}{\displaystyle} \newcommand{\dif}{\mathrm{d}} \newcommand{\ddif}[1]{\frac{\dif}{\dif #1 }} \newcommand{\cddif}[1]{\cfrac{\dif}{\dif #1 }} \newcommand{\eset}{\varnothing} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh\ }} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch\ }} \newcommand{\Imm}{\mathrm{Im\ }} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker\ }} \newcommand{\rank}{\mathrm{rank\ }} \newcommand{\diag}{\mathrm{diag\ }} \newcommand{\sgn}{\mathrm{sgn\ }} \newcommand{\simeqq}{\cong} \newcommand{\tdeg}{^\circ} \newcommand{\roku}{\partial} \newcommand{\bksl}{\backslash} \newcommand{\mrm}{\mathrm} \newcommand{\mbb}{\mathbb} \newcommand{\mbf}{\mathbf} \newcommand{\mscr}{\mathscr} \newcommand{\mbs}[1]{\boldsymbol{ #1 }} \newcommand{\kaz}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}} \newcommand{\pmat}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}} \text{数学分析读书报告(2020年春)} \]
在第一学期的数学分析课程中, 我们定义了一整套实数系统. 当时我们先用皮亚诺公理和集合论两种方式定义了自然数集, 然后再用自然数对的商集定义了整数集, 用整数对的集定义了有理数集, 最后又用戴德金分割定义了实数. 然而最近读到了卓里奇的《数学分析》, 在这本书里, 作者用了另一种方式定义了这一套系统: 先给出实数集的公理系统, 之后在逐步导出自然数集, 整数集和有理数集.
既然是从实数集开始, 那么作者是如何定义实数集的呢? 下面就是实数集的定义:
实数集
满足以下四组条件的集合 \(\mbb R\) 叫做实数集, 其中的元素叫做实数, 这些条件构成了实数集的公理系统:
1. 加法公理
确定了一个映射(加法) \[ +:\mbb R\times\mbb R\rightarrow\mbb R \] s.t. \(\mbb R\) 中任意二元 \(x,y\) 之有序对 \((x,y)\) 都有某元素 \(x+y\in\mbb R\) 与之对应, 称 \(x+y\) 为 \(x,y\) 之和. 该映射亦满足以下条件:
\(1_+\). 存在加法零元 \(0\) s.t. \(\forall x\in\mbb R\) 都有 \[ x+0=0+x=x \]
\(2_+\). \(\forall x\in\mbb R\), 存在负元 \(-x\in\mbb R\) s.t. \[ x+(-x)=(-x)+x=0 \]
\(3_+\). 运算 \(+\) 是结合的, 即 \(\forall x,y,z\in\mbb R\) 满足 \[ x+(y+z)=(x+y)+z \]
\(4_+\). 运算 \(+\) 是交换的, 即 \(\forall x,y\in\mbb R\) 满足 \[ x+y=y+x \]
群
装备了满足上述 \(1_+,2_+,3_+\) 条件的运算的集合称为群.
如果这个运算叫加法, 那么这个群称为加群.
如果这个运算是交换的, 即满足条件 \(4_+\), 那么这个群称为交换群或 Abel 群.
\(\mbb R\) 关于加法运算是 Abel 群.
2. 乘法公理
确定了一个映射(乘法) \[ \bullet:\mbb R\times\mbb R\rightarrow\mbb R \] s.t. \(\mbb R\) 中任意二元 \(x,y\) 之有序对 \((x,y)\) 都有某元素 \(x\cdot y\in\mbb R\) 与之对应, 称 \(x\cdot y\) 为 \(x,y\) 之积. 该映射亦满足以下条件:
\(1_\bullet\). 存在单位元 \(1\) s.t. \(\forall x\in\mbb R\bksl0\) 都有 \[ x\cdot1=1\cdot x=x \]
\(2_\bullet\). \(\forall x\in\mbb R\bksl0\), 存在逆元 \(x^{-1}\in\mbb R\bksl0\) s.t. \[ x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=0 \]
\(3_\bullet\). 运算 \(\bullet\) 是结合的, 即 \(\forall x,y,z\in\mbb R\) 满足 \[ x\cdot(y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z \]
\(4_\bullet\). 运算 \(\bullet\) 是交换的, 即 \(\forall x,y\in\mbb R\) 满足 \[ x\cdot y=y\cdot x \]
\(\mbb R\bksl0\) 关于乘法运算是 Abel 群.
1-2. 加法与乘法
乘法对加法有分配性: \(\forall x,y,z\in\mbb R\), \[ (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z \] 由于乘法是交换的, 左分配律亦成立.
域
若一个集合上定义了两种运算, 它们满足上述的所有公理, 就称这个集合为一个代数域, 简称域.
3. 序公理
\(\mbb R\) 的元素间有不等关系 \(\le\), 对 \(\mbb R\) 的元素 \(x,y\), 或满足 \(x\le y\), 或不满足 \(x\le y\). 同时还满足以下条件:
\(0_\le\). \(\forall x\in\mbb R\), \(x\le x\). (反身性)
\(1_\le\). 若 \(x\le y\) 且 \(y\le x\), 则 \(x=y\). (反对称性)
\(2_\le\). 若 \(x\le y\) 且 \(y\le z\), 则 \(x\le z\). (传递性)
\(3_\le\). \(\forall x,y\in\mbb R\), \(x\le y\) 或 \(y\le x\).
序
如果某个集合的某些元素间有满足公理 \(0_\le,1_\le,2_\le\) 的二元关系, 就称该集合为偏序集.
若偏序集满足 \(3_\le\), 即任意两个元素间均有这种关系, 就称此集合为线性序集.（个人更喜欢全序集 [2]这个名字）
\(\mbb R\) 关于不等关系是全序集.
1-3. 加法与序
\(\forall x,y,z\in\mbb R\), 若 \(x\le y\), 则 \(x+z\le y+z\).
2-3. 乘法与序
\(\forall x,y\in\mbb R\),若 \(0\le x\) 且 \(0\le y\), 则 \(0\le x\cdot y\).
4. 完备公理
若 \(X,Y\) 是 \(\mbb R\) 的非空子集, 且有性质: 若 \(\forall x\in X,y\in Y\), 都有 \(x\le y\); 那么 \(\exists c\in\mbb R\), s.t. \(\forall x\in X,y\in Y\) 都有 \(x\le c\le y\).
以上便是实数集的公理系统了. 有了这套公理系统, 就构造出了一个抽象系统. 但是, 类似皮亚诺公理存在的问题一样, 书中也提出了两个问题:
无矛盾性: 这套公理是否相容? 是否真的存在满足上述公理系统的集合?
范畴性: 这组公理确定的数学对象是否唯一? 任意两个不同的实现是否同构?
关于无矛盾性的问题, 书中用集合论公理系统出发建立自然数集, 然后是有理数集, 最后是是实数集的描述来证明的. 感觉起来像是我们之前学习的那一种方式. 范畴性的问题似乎是构造两个实数模型 \(\mbb R\) 到 \(\mbb R'\) 的同构映射, 但是我想不到比较合适的方法定义这个映射.
下面是实数的一些代数性质. 书中对部分定理进行了证明. 由于证明很简单, 这里不做赘述.
加法公理的推论
\(1\tdeg\) 实数集中有唯一的零元.
\(2\tdeg\) 实数集中每个元素有唯一的负元.
\(3\tdeg\) 方程 \(a+x=b\) 在 \(\mbb R\) 中有唯一解 \(x=b+(-a)\) (通常表示为 \(b-a\)).
乘法公理的推论
\(1\tdeg\) 实数集中有唯一的单位元.
\(2\tdeg\) 实数集中每个 \(x\ne0\), 有唯一的逆元 \(x^{-1}\).
\(3\tdeg\) 方程 \(a\cdot x=b\), 当 \(a\in\mbb R\bksl0\) 时, 有唯一解 \(x=b\cdot a^{-1}\).
加法与乘法的推论
\(1\tdeg\) \(\forall x\in\mbb R\), \(x\cdot0=0\cdot x=0\).
\(2\tdeg\) 若 \(x\cdot y=0\), 则 \(x=0\) 或 \(y=0\).
\(3\tdeg\) \(\forall x\in\mbb R\), \(-x=(-1)\cdot x\).
\(4\tdeg\) \(\forall x\in\mbb R\), \((-1)\cdot(-x)=x\).
\(3\tdeg\) \(\forall x\in\mbb R\), \((-x)\cdot(-x)=x\cdot x\).
序公理的推论
定义
\(x\le y\) 可以写作 \(y\ge x\).
\(x\ne y\) 时, \(x\le y\) 可以写成 \(x<y\) 或 \(y>x\), 此时称之为严格不等式.
\(1\tdeg\) \(\forall x,y\in\mbb R\), \[ x<y,x=y,x>y \] 恰有一种关系成立.
\(2\tdeg\) \(\forall x,y,z\in\mbb R\): 若 \(x<y\) 且 \(y\le z\), 则 \(x<z\); 若 \(x\le y\) 且 \(y<z\), 则 \(x<z\).
序与加法及减法
\(1\tdeg\) \(0<1\).
\(2\tdeg\) 若 \(0<x\) 则 \(0<x^{-1}\). 若 \(0<x\), \(x<y\), 则 \(0<y^{-1}\), \(y^{-1}<x^{-1}\).
由完备定理, 我们可以得到关于上下界的一些比较好的性质. 首先有一些关于上下界的定义:
上界与下界
设 \(X\subseteq\mbb R\), 若 \(\exists c\in\mbb R\), s.t. \(\forall x\in X\) 都有 \(x\le c\), 就称 \(X\) 是上有界集, \(c\) 是 \(X\) 的的一个上界.
将上述定义中的 \(\le\) 改为 \(\ge\), 就得到了下有界集和下界的定义.
既有上界又有下界的集合叫做有界集.
极大元与极小元
设 \(X\subseteq\mbb R,a\in X\), 若 \(\forall x\in X\), 都有 \(x\le a\), 那么称 \(a\) 为 \(x\) 的最大元或极大元, 记做 \(\max X\).
将上述定义中的 \(\le\) 改为 \(\ge\), 就得到了极小元的定义, 记做 \(\min X\).
一个集合不一定存在极大元或极小元. 极大元或极小元若存在, 则只能有一个.
上确界与下确界
设 \(X\subseteq\mbb R\): \(X\) 的上界中的最小者称为 \(X\) 的上确界, 记做 \(\sup X\). \(X\) 的下界中的最大者称为 \(X\) 的下确界, 记做 \(\inf X\). 即 \[ \begin{aligned} \sup X&:=\min\lrac{c\in\mbb R|\forall x\in X,x\le c}\\ \inf X&:=\min\lrac{c\in\mbb R|\forall x\in X,c\le x}\\ \end{aligned} \]
通过这种定义得到的上确界和下确界的存在性是未知的. 但是我们由下面的定理可知上下确界是一定存在的.
上确界原理
实数集的任何非空有上界的子集有唯一的上确界.
证明: 设 \(X\) 是给定的集合, \(Y=\lrac{y\in\mbb R|\forall x\in X,x\le y}\) 是上界构成的集合. 由定义可知, \(\forall x\in X,y\in Y\), \(x\le y\). 由题意知, \(x\ne\eset,y\ne\eset\). 由完备公理, \(\exists c\in\mbb R\) s.t. \(\forall x\in X,y\in Y\), \(x\le c\le y\). 于是 \(c\) 是 \(x\) 的上界, \(c\in Y\). 于是 \(c\) 是 \(Y\) 的极小元, \(c=\min Y=\sup X\). 证毕.
类似的, 可以有下确界原理: 实数集的任何非空有下界的子集有唯一的下确界.
至此, 我们定义了实数集的公理系统, 似乎这篇报告到这里就可以结束了. 但是我们回顾一下之前我们定义实数集的过程: 自然数集, 整数集, 有理数集, 实数集. 但是现在按上述定义, 我们只定义了实数集! 前面的自然数集, 整数集和有理数集都还没有定义! 也就是说, 我们的工作还没有完成! 下面就开始定义其他的那些集合.
在定义自然数集之前, 先定义归纳集:
归纳集
设 \(X\subseteq\mbb R\), 若 \(\forall x0\in X\), 有 \(x+1\in X\), 就称 \(X\) 为一个归纳集.
例如: \(\mbb R\) 和 \(\mbb R_+\) 都是归纳集.
命题
任意多个归纳集 \(X_\alpha\) 之交集 \(\bigf X=\bigcap_{\alpha\in A}X_\alpha\) 若非空, 则 \(X\) 也是归纳集.
证明: \(\forall x\in X\): \(\forall\alpha\in A\), \(x\in X_\alpha\). 于是 \(\forall\alpha\in A\), \(x+1\in X_\alpha\). 于是 \(x+1\in X\). \(X\) 是归纳集. 证毕.
自然数集
包含数 \(1\) 的最小归纳集叫自然数集, 用 \(\mbb N\) 表示, 其元素叫自然数.
容易发现, 自然数集就是由 \(1\), \(1+1\), \((1+1)+1\) 组成的集合.
数学归纳原理
若 \(E\subseteq\mbb N\), \(1\in E\), 且 \(\forall x\in E\), \(x+1\in E\). 则 \(E=\mbb N\).
证明: 由归纳集定义, \(E\) 是归纳集. 又 \(1\in E\), 由自然数集定义, \(\mbb N\subseteq E\). 又 \(E\subseteq\mbb N\), 于是 \(E=\mbb N\). 证毕.
自然数集的部分性质
\(1\tdeg\) 自然数的和与积是自然数.
证明: \[ A:=\lrac{n\in\mbb N|\forall m\in\mbb N,m+n\in\mbb N}\subseteq\mbb N \] 由自然数定义, \(1\in A\). \(\forall n\in A\), \(\forall m\in\mbb N\), \(m+n\in\mbb N\), \(m+(n+1)=(m+n)+1\in\mbb N\). 于是 \(n+1\in A\). 于是由数学归纳原理 \(A=\mbb N\). 于是自然数的和是自然数. \[ B:=\lrac{n\in\mbb N|\forall m\in\mbb N,m\cdot n\in\mbb N}\subseteq\mbb N \] 由 \(1\) 的定义, \(1\in B\). \(\forall n\in B\), \(\forall m\in\mbb N\), \(m\cdot n\in\mbb N\), \(m\cdot(n+1)=m\cdot n+m\in\mbb N\). 于是 \(n+1\in B\). 于是由数学归纳原理 \(B=\mbb N\). 于是自然数的积是自然数. 证毕.
用类似的方法可以证明 \(2\tdeg-5\tdeg\)：
\(2\tdeg\) 若 \(n\in\mbb N\), \(n\ne1\), 则 \(n-1\in\mbb N\).
\(3\tdeg\) \(\forall n\in\mbb N\), \(\lrac{x\in\mbb N|n<x}\) 有极小元 \(n+1\).
\(4\tdeg\) \(\forall m,n\in\mbb N\), 若 \(n<m\), 则 \(n+1\le m\).
\(5\tdeg\) 若 \(n\in\mbb N\), 则没有 \(x\in\mbb N\) 能满足 \(n<x<n+1\).
\(6\tdeg\) 自然数集的任何非空子集都有最小元.
证明: 设 \(M\subseteq\mbb N\), \(M\ne\eset\). 若 \(1\in M\), 则 \(\min M=1\). 否则, 设 \(E=\mbb N\bksl M\), \(1\in E\). 在 \(E\) 中必能找到自然数 \(n\in E\) s.t. 不超过 \(n\) 的自然数都在 \(E\) 中而 \(n+1\in M\). 否则 \(1\in E\subseteq\mbb N\), 当 \(n\in E\) 时, \(n+1\in E\), 于是 \(E=\mbb N\), \(M=\eset\), 矛盾. \(n+1\in M\) 即 \(M\) 的最小元, 因为 \(n\) 与 \(n+1\) 之间没有自然数.
其实我不是很能理解这个证明, 有点循环论证的感觉.
整数
自然数集, 自然数的相反数的集合, 以及 \(\lrac0\) 的并集叫做整数集, 记做 \(\mbb Z\).
整数对加法和乘法运算封闭. \(\mbb Z\) 关于加法运算构成 Abel 群.
有了整数的定义, 就能得到初等数论中的关于整数的一些性质, 这里不做赘述.
对比之前我们由自然数得到整数的过程, 我们使用的是 \(\mbb N\times\mbb N\) 的商集得到的 \(\mbb Z\) 的. 但是现在我们先定义了 \(\mbb R\), 于是就有了相反数, 在定义 \(\mbb Z\) 时就简洁了许多.
有理数
形如 \(m\cdot n^{-1}\) 的数叫有理数, 其中 \(m,n\in\mbb Z\). 有理数构成的集合叫有理数集, 用 \(\mbb Q\) 表示.
有理数 \(q=m\cdot n^{-1}\) 也可以写成有理分数 \(\bigf\frac{m}n\) 的形式.
“小学生都知道”, \(\forall k\in\mbb Z\), 若 \(k\ne0\), 则 \(\bigf\frac{m}{n}=\frac{mk}{nk}\). 下面简单地证明这件事: 由结合性, \((nk)(k^{-1}n^{-1})=1\), \(k^{-1}n^{-1}=(nk)^{-1}\). 于是 \((mk)(nk)^{-1}=mk(k^{-1}n^{-1})=m\cdot n^{-1}\). 于是 \(\forall m\cdot n^{-1}\), \(k:=\gcd(m,n)\), 于是 \(m=m'k,n=n'k\), 其中 \(m',n'\in\mbb Z\), \(\gcd(m,n)=1\). 由小学生都知道的结论, \(m\cdot n^{-1}=m'\cdot n'^{-1}\). 于是每个有理数经过约分后, 都能用互素的整数有序对给出.
无理数
不是有理数的实数叫无理数.
下面构造一个无理数 \(\sqrt2\) 以证明无理数是存在的.
构造集合 \(X=\lrac{x|x^2<2}\), \(Y=\lrac{y|2<y^2}\). 显然, \(1\in X,2\in Y\), 且 \(\forall x\in X,y\in Y\), \(x\le y\). 于是由完备公理, \(\exists t\in\mbb R\) s.t. \(\forall x\in X,y\in Y\), \(x\le t\le y\). 记 \(p=2-t^2\), \(a=t+\cfrac{p}{3t}\). 由于 \(1\in x,2\in y\), 于是 \(1\le t\le2\), 于是 \(-2\le p\le1\). \(1\le t\le t^2\), \(p^2\le p\).
若 \(t^2<2\), 则 \(p>0\), \(a>t\). \[ a^2=t^2+\frac23p+\frac{p^2}{9t^2}\le t^2+\frac23p+\frac19p<t^2+p=2 \]
于是 \(a^2\in X\), \(a^2>t^2\), 矛盾.
若 \(t^2>2\), 则 \(p<0\), \(a<t\). \[ a^2=t^2+\frac23p+\frac{p^2}{9t^2}\ge t^2+\frac23p>t^2+p=2 \] 于是 \(a^2\in Y\), \(a^2<t^2\), 矛盾.
于是 \(t^2=2\), 也就是所谓的 \(\sqrt2:=t\) 是存在的.下面证明 \(\sqrt2\) 是无理数. 若 \(\sqrt2\) 是有理数, 设 \(\sqrt2=\cfrac{m}n\), \(m,n\in\mbb Z\), \(\gcd(m,n)=1\). 于是 \(m^2=2n^2\). 由 \(2\mid m^2\), \(2\mid m\). 于是设 \(m=2k\), \((2k)^2=2n^2\), \(2k^2=n^2\), \(2\mid n\), 于是 \(\gcd(m,n)\ge2\), 矛盾. 于是 \(\sqrt2\) 是无理数.
代数数与超越数
一个实数若是某个整系数多项式代数方程的根, 那么这个实数叫做代数数, 否则叫做超越数. \(\sqrt2\) 是方程 \(x^2=2\) 的根, 是代数数. \(e\)[3] 和 \(\pi\)[4] 都是超越数, 结论是广为人知的, 但是证明很复杂, 在参考资料中有证明. 总之, 代数数和超越数都是存在的.
完备公理的应用
前面的结论的证明中, 只有证明上下确界原理和 \(\sqrt2\) 的存在性中使用到了完备公理. 关于完备公理有下述结论:
\(1\tdeg\) 自然数集的任何非空有界子集有极大元.
证明: 设 \(E\subseteq\mbb N\) 是一不空有界集, 记 \(s:=\sup E\in\mbb R\). 由于 \(s\) 是上确界, 于是 \(s-1\) 不是 \(E\) 的上界, 于是一定 \(\exists n\in E\), s.t. \(s-1<n\). 于是 \(s<n+1\). \(\forall x\in E\), \(x\le s<n+1\). 就是 \(\forall x\in E\), \(x\le n\). 于是 \(n=\max E\).
用类似的方法可以证明 \(2\tdeg-5\tdeg\)：
\(2\tdeg\) 自然数集的任何非空有界子集有极小元.
\(3\tdeg\) 自然数集没有上界.
\(4\tdeg\) 整数集的任何上有界非空子集有极大元和极小元.
\(5\tdeg\) 整数集没有上下界.
\(6^\circ\) 阿基米德原理
若 \(h>0\), 则 \(\forall x\in\mbb R\), 有唯一地整数 \(k\) s.t. \((k-1)h\le x<kh\).
证明: \(\mbb Z\) 无上界, 于是 \(\lrac{n\in\mbb Z\bigg|\cfrac{x}h<n}\) 是 \(\mbb Z\) 的非空下有界子集, 于是有极小元 \(k\). 于是 \(k-1\le\cfrac{x}h<k\). 于是 \((k-1)h\le x<kh\).
阿基米德原理有以下推论：
\(7\tdeg\) \(\forall\varepsilon>0\), \(\exists n\in\mbb N\), s.t. \(0<\cfrac1n<\varepsilon\).
\(8\tdeg\) 若 \(x\in\mbb R\), \(x\ge0\), 且 \(\forall n\in\mbb N\) 都有 \(x<\cfrac1n\), 则 \(x=0\).
\(9\tdeg\) \(\forall a,b\in\mbb R\), 若 \(a<b\) 则 \(\exists q\in\mbb Q\) s.t. \(a<q<b\).
证明: \(\exists n\in\mbb N\), s.t. \(0<\cfrac1n<b-a\). 又 \(\exists m\in\mbb N\), s.t. \(\cfrac{m-1}n\le a<\cfrac{m}n\). 于是 \(\cfrac{m}n\le a+\cfrac1n<b\). 于是 \(a<\cfrac{m}n<b\).
至此, 我们就构建了一个完整的实数域系统, 并给出了一些结论. 这样就可以得到我们在数学分析课程中得到的一些结论.
参考资料
[1] B.A.卓里奇 数学分析(第一卷)(第4版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.
[2] 全序关系, 维基百科, https://zh.wikipedia.org/zh-hans/全序关系
[3] 如何证明 \(e\) 是超越数, 知乎, https://zhuanlan.zhihu.com/p/47709039
[4] 如何证明 \(\pi\) 是超越数, 知乎, https://zhuanlan.zhihu.com/p/56607777
[5] 数学分析笔记（二）——实数理论, 知乎, https://zhuanlan.zhihu.com/p/38393931